信号处理之浅见（一）：写在前面的话

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一些废话

最近因为工作原因和同事经常就一些通信算法进行探讨，在这过程中时常暴露出一些对信号处理知识理解不足的问题，虽说这种层面知识的不扎实对于算法之外的工作影响不大，但“凡事若能纵观形势索，通常有助于进一步探究细节”，索性在这里做一下整理。

本文，或者说本系列文章，主要针对初出茅庐的电子工程师，不涉及复杂的推导和证明，只给出与工程相关的结论；当然这也不是针对连微积分基础都没有的爱好者的科普文章，所以必要的公式才是最简练的语言。

鉴于本人水平有限，难免有胡说八道之处，欢迎批评斧正。

前言

我们生活在一个无比复杂的世界中，对于人类来说，世界是否能够被完全认知，这仅仅是一个哲学问题，但无论可知与否，都无法阻止人类对这个世界的探索。世界的规律就像散落在一个无比庞杂的迷宫中的宝藏，不过幸运的是，聪明的人类似乎找到了一些途径可以探寻到宝藏的蛛丝马迹。这其中有一条路就是化繁为简，把陌生复杂的事物分解简化成为熟悉简单的事物，从已有的知识出发逐渐接事物的本质。

在研究信号和系统的时候，同样走的是上述这条路。现实生活中的绝大部分系统都是非线性的、复杂的，此时的表现出的一些特性，彼时可能就发生了变化。比如“电压作用在电阻上产生电流”这般简单的系统，随着时间的推移，电阻等因素会发生变化，分析起来就没那么简单了。不过如果我们对这样的系统适当的做一下简化，比如电阻恒定不变之类，那么这个系统就立刻变成了连初中生都会分析的u=iR了。

基本的系统——线性时不变系统

早在十七世纪，科学家们就对一种系统谙熟于胸——线性时不变系统（LTI，Linear Time Invariant)，该系统有两个最大的好处：其一就是线性，若输入信号x1则输出信号是y1，输入信号x2则输出信号是y2，那么输入是x1和x2的叠加，则输出信号就是y1和y2的叠加；其二就是时不变，某一时刻给系统一个输入x，输出是y，那么无论其他什么时候只要给同样的输入，就会得到同样的输出。幸运的是，现实中的很多系统，通过合理的简化，是可以近似为线性时不变系统的，哪怕近似不了，也可以对分析有一定的帮助。

基本的信号——复指数信号

说完系统再说说信号。无论是力学还是电学领域，简谐振动（SHM，Simple harmonic motion）都是一种最基础的运动（信号），从名字也可以看得出来，谐振是如此的简单、如此的和谐，描述这种谐振的方程如下：

，其中

上式中ω为角频率，意思是振动的相位每秒变化的弧度值；θ为初始相位，决定了振动的在零时刻的状态。我们看到此方程中涉及三角函数，学过三角函数的人都知道，这玩意公式繁多，计算相对繁琐。还好有个叫欧拉的人发现了一个公式：

仔细看一下欧拉公式，exp(jω)的轨迹在复平面表现为一个周期旋转的单位圆,利用欧拉公式我们可以轻松的把三角函数和复指数建立联系，如下图所示，exp(jω)在实数轴上的投影是cos(x)，虚数轴上的投影就是sin(x)。

这就是说，我们可以利用欧拉公式，把不方便计算的谐振方程的三角形式，转换成复指数形式，这样以来指数的很多运算性质都可以原封不动的用在谐振的分析上。这里多说一句，实数域大家都好理解，在复数域就没那么直观了，有些人喜欢追究“到底复数的物理意义是什么？”，于是网上出现了很多科普类的文章，从旋转、向量等各种角度解释一番，其实笔者认为，它本就没有物理意义，这里引入复数的唯一目的就是方便计算！

谐振就是人们最熟悉的运动之一，换句话说，复指数信号就是人们最熟悉的信号之一，欧拉、拉普拉斯、拉格朗日等巨擘早就在这上面研究的很深入了，要是世界上所有的信号都能分解成若干复指数信号的叠加，那么作用在线性时不变系统上的信号分析就变得简单许多了。那么到底多少信号、什么样的信号才能被分解呢？